Stato Space Metodi In Stata Forex

Introduzione: Metodi Stato-spazio per il controller design Ci sono diversi modi per descrivere un sistema di equazioni differenziali lineari. Lo spazio di stato è stato introdotto nella Introduzione: sezione Sistema Modeling. Per un sistema SISO LTI, la forma dello spazio degli stati è il seguente: dove x è da 1 vettore rappresentativo dello stato (comunemente posizione e velocità variabile nei sistemi meccanici), u è uno scalare che rappresenta l'ingresso (comunemente una forza o coppia in sistemi meccanici) e Y è uno scalare che rappresenta l'uscita. Il matrici A (n da n), B (n da 1), e C (1 da n) determinare i rapporti tra lo Stato e di input e variabili di uscita. Si noti che ci sono n equazioni differenziali del primo ordine. spazio di stato può essere utilizzato anche per i sistemi con più ingressi e uscite (MIMO), ma useremo solo i sistemi single-input, single-output (SISO) in questi tutorial. Per introdurre il metodo di progettazione spazio degli stati, useremo la palla magneticamente sospesa come un esempio. La corrente attraverso le bobine induce una forza magnetica che può bilanciare la forza di gravità e causare la palla (che è fatta di un materiale magnetico) per essere sospeso a mezz'aria. La modellazione di questo sistema è stata stabilita in molti libri di testo di controllo (tra cui sistemi di controllo automatico di B. C. Kuo, la settima edizione). Le equazioni del sistema sono dati da: dove h è la posizione verticale della palla, i è la corrente attraverso l'elettromagnete, V è la tensione applicata, M è la massa della palla, g è la gravità, L è l'induttanza, R è la resistenza, e K è un coefficiente che determina la forza magnetica esercitata sulla palla. Per semplicità, sceglieremo valori M 0,05 Kg. K 0,0001. L 0,01 H. R 1 Ohm. g 9.81 msec2. Il sistema è in equilibrio (la palla è sospeso a mezz'aria) ogni volta che h K i2Mg (a quel punto dhdt 0). Abbiamo linearizzare le equazioni intorno al punto H 0,01 m (dove la corrente nominale è di circa 7 amp) e ottenere le equazioni di spazio di stato: è l'insieme di variabili di stato per il sistema (un vettore 3x1), u è la tensione di ingresso (Delta V ) e y (l'uscita), è il delta h. Inserire i da matrici di sistema in un m-file. Una delle prime cose che vogliamo fare è analizzare se il sistema ad anello aperto (senza alcun controllo) è stabile. Come discusso nell'introduzione: sezione Analysis System, gli autovalori della matrice del sistema, A, (equivalenti ai poli della fucntion trasferimento) determinano la stabilità. Gli autovalori della matrice A sono i valori di s dove det (sI - A) 0. Uno dei poli è nel semipiano destro, (cioè ha parte reale positiva che significa che il sistema è instabile in anello aperto. Per verificare che cosa accade a questo sistema instabile quando vi è una condizione iniziale diverso da zero, aggiungere il seguente linee per il vostro m-file e di nuovo: sembra che la distanza tra la palla e l'elettromagnete andranno all'infinito, ma probabilmente la palla colpisce il tavolo o sul pavimento prima (e probabilmente anche va fuori del campo in cui il nostro linearizzazione è valido). controllabilità e osservabilità un sistema è controllabile se esiste un ingresso di controllo, u (t), che trasferisce qualsiasi stato di sistema a zero in un tempo finito. si può dimostrare che un sistema LTI è controllabile se e solo se il suo matrix controllabilty, CO, ha rango pieno (cioè se rango (CO) n dove n è il numero di stati). il rango della matrice di controllabilità di un modello LTI può essere determinato in MATLAB utilizzando i comandi di rango (CTrb (a, B )) o grado (CTrb (SYS)). Tutte le variabili di stato di un sistema non possono essere direttamente misurabili, per esempio se il componente è in una posizione inaccessibile. In questi casi é necessario stimare i valori delle variabili di stato interne sconosciuti utilizzando solo le uscite di sistema disponibili. Un sistema è osservabile se lo stato iniziale x (t0), può essere determinata dall'uscita del sistema, y ​​(t), su alcuni tempo finito t0 lt t lt tf. Per i sistemi LTI, il sistema è osservabile se e solo se la matrice di osservabilità, OB, ha rango pieno (cioè se rango (OB) n dove n è il numero di stati). Il osservabilità di un modello LTI può essere determinata in MATLAB utilizzando il comando rango (obsv (A, C)) o grado (OSS (SYS)). Controllabilità e osservabilità sono doppi concetti. Un sistema (A, B) è controllabile se e solo se un sistema (A, C, B, D) è osservabile. Questo fatto sarà utile durante la progettazione di un osservatore, come vedremo in seguito. Controllo Design Con Pole Placement Consente di costruire un controller per questo sistema utilizzando il posizionamento palo. Lo schema di un sistema di feedback full-stato è mostrato sotto. Con full-stato, si intende che tutte le variabili di stato sono noti per il controller in ogni momento. Per esempio, in questo sistema, avremmo bisogno di un sensore di misurazione della posizione della sfera, un'altra velocità di misura, e una corrente di misura terzo nel elettromagnete. Per semplicità, assumiamo il riferimento è zero, R0. L'ingresso è quindi le equazioni di stato-spazio del sistema di retroazione ad anello chiuso sono quindi La stabilità e prestazioni in tempo dominio del sistema di retroazione ad anello chiuso sono determinate principalmente dalla posizione dei poli (autovalori) della matrice (A-BK ). Poiché le matrici A e BK sono entrambi 3 da 3 matrici, ci saranno 3 poli per il sistema. Scegliendo una matrice K appropriata possiamo mettere questi poli ad anello chiuso ovunque vogliamo. Siamo in grado di utilizzare la funzione di luogo di MATLAB per trovare la matrice di comando, K, che darà i poli desiderati. Prima di tentare questo metodo, dobbiamo decidere dove vogliamo i poli ad anello chiuso di essere. Supponiamo che i criteri per il controller sono stati Tempo di assestamento lt 0,5 sec e superamento lt 5, allora potremmo cercare di posizionare i due poli dominanti a -10 - 10i (Zeta 0,7 o 45 gradi con sigma 10 gt 4.62). Il terzo polo che potrebbe mettere a -50 per iniziare, e siamo in grado di cambiare in un secondo momento a seconda di ciò che il comportamento a ciclo chiuso è. Rimuovere il comando lsim dal M-file e tutto quello che segue, quindi aggiungere le seguenti righe al m-file. Il superamento è troppo grande (ci sono anche gli zeri nella funzione di trasferimento che possono aumentare il superamento non si vede gli zeri nella formulazione stato-spazio). Prova a mettere i pali più a sinistra per vedere se la risposta ai transitori migliora (questo dovrebbe anche rendere la risposta più veloce). Questa volta la sovraelongazione è minore. Consultare il proprio libro di testo per ulteriori suggerimenti su come scegliere i poli ad anello chiuso desiderati. Confronto lo sforzo di controllo richiesto (K) in entrambi i casi. In generale, quanto più ci si sposta i pali, lo sforzo più di controllo che ci vuole. Nota: Se si desidera inserire due o più poli nella stessa posizione, posto non funzionerà. È possibile utilizzare una funzione chiamata Acker, che funziona in modo simile a posto: K Acker (A, B, P1 P2 P3) Introducendo l'ingresso di riferimento Ora, ci vorrà il sistema di controllo come sopra definito e applicare un ingresso a gradino (abbiamo scelto un valore basso per il passo, quindi rimaniamo nella regione in cui il nostro linearizzazione è valido). Sostituire t, u, e lsim nel m-file con il seguente: Il sistema non tiene il passo bene a tutti, non solo è il non magnitudo uno, ma è negativo, invece di richiamo positivo schema di cui sopra, noi non confrontare la uscita al riferimento invece misuriamo tutti gli stati, si moltiplicano per il guadagno vettore K, e quindi sottrarre questo risultato dal riferimento. Non c'è ragione di aspettarsi che Kx sarà pari alla produzione desiderata. Per eliminare questo problema, possiamo scalare l'ingresso di riferimento per renderlo uguale a Kx SteadyState. Questo fattore di scala è spesso chiamato NBAR si presenta come mostrato nel seguente schema: Possiamo ottenere NBAR da MATLAB, utilizzando la funzione Scala R (inserire la seguente riga di codice dopo K.). Si noti che questa funzione non è standard in MATLAB. Sarà necessario scaricare qui, rscale. m. e salvarlo sul lavoro corrente. Ora, se vogliamo trovare la risposta del sistema in retroazione dello stato con questa introduzione del riferimento, semplicemente notare il fatto che l'ingresso è moltiplicato per questo nuovo fattore, NBAR. e ora un passo può essere rintracciato ragionevolmente bene. Design Observer Quando non possiamo misurare tutti gli stati x (spesso il caso, in pratica), possiamo costruire un osservatore per la stima di loro, mentre si misura solo l'uscita y C x. Per l'esempio sfera magnetica, aggiungeremo tre nuovi stati stimati al sistema. Lo schema è il seguente: L'osservatore è sostanzialmente una copia della pianta ha lo stesso ingresso e quasi la stessa equazione differenziale. Un termine supplementare confronta l'effettiva uscita y misurata all'uscita stimato yhat ciò provocherà cappello stati stimati per avvicinarsi ai valori degli stati attuali x. La dinamica errore dell'osservatore sono dati dai poli (A-LC). Innanzitutto, è necessario scegliere il guadagno osservatore L. Poiché vogliamo la dinamica dell'osservatore di essere molto più veloce del sistema stesso, occorre posizionare i pali almeno cinque volte più a sinistra rispetto ai poli dominanti del sistema. Se vogliamo usare posto. abbiamo bisogno di mettere i tre poli dell'osservatore in luoghi diversi. A causa della dualità tra controllabilità e osservabilità, possiamo utilizzare la stessa tecnica utilizzata per individuare matrice di comando, ma sostituendo la matrice B dalla matrice C e prendendo le traspone di ciascuna matrice Le equazioni nello schema a blocchi di cui sopra sono date a cappello. E 'convenzionale di scrivere le equazioni combinate per il sistema, più osservatori utilizzando i x originali di stato più lo stato di errore: e x - cappello. Usiamo come feedback stato u k cappello. Dopo un po 'di algebra (consultare il libro di testo per ulteriori dettagli), si arriva allo stato di errore e le equazioni combinate con le valutazioni full-stato e un osservatore. Per vedere come la risposta sembra una condizione iniziale diverso da zero, senza ingresso di riferimento, aggiungere le seguenti righe nel vostro m-file. Noi di solito assume che l'osservatore inizia da zero condizione iniziale, cappello 0. Questo ci dà che la condizione iniziale per l'errore è uguale alla condizione iniziale dello stato. Le risposte di tutti gli stati sono tracciati di seguito. Ricordiamo che lsim ci dà x ed e per ottenere il cappello. abbiamo bisogno di calcolare x - e. Possiamo vedere che l'osservatore stima degli stati rapidamente e traccia gli stati bene in stato stazionario. Pubblicato con MATLABreg 7.14State spazio Rappresentanze di Linear sistemi fisici Introduzione Poiché i sistemi diventano sempre più complessi, che li rappresentano con le equazioni differenziali o funzioni di trasferimento diventa ingombrante. Questo è ancor più vero se il sistema dispone di più ingressi e uscite. Questo documento introduce il metodo di spazio degli stati che allevia in gran parte questo problema. Lo spazio di stato di un sistema sostituisce un n-esima equazione differenziale ordine con una singola equazione differenziale prima matrice di ordine. Lo spazio di stato di un sistema è data da due equazioni: Nota: i caratteri in grassetto indicano un vettore o matrix. The variabile x è più comunemente usato nei libri di testo e altri riferimenti che è il q variabile quando variabili di stato sono discussi. La q variabile verrà utilizzata qui dal momento che spesso usare x per rappresentare la posizione. La prima equazione è chiamata l'equazione di stato, la seconda equazione è detta equazione uscita. Per un n-esimo sistema di ordine (cioè può essere rappresentato da un n-esima equazione ordine differenziale) con ingressi r ed m uscite delle dimensioni di ciascuna delle matrici è la seguente: q è nx 1 (n righe da 1 colonna) q è chiamato vettore di stato, è una funzione del tempo a è nxn a è la matrice di stato, una costante B è nxr B è la matrice di ingresso, un u costante è rx 1 U è l'ingresso, in funzione del tempo C è mxn C è la matrice di uscita, una costante D è mxr D è la matrice di transizione diretta (o passante), una costante y è mx 1 y è l'uscita, in funzione del tempo Nota diverse caratteristiche: l'equazione di stato ha un singolo derivata primo ordine di vettore di stato a sinistra, e il vettore di stato, q (t), e l'ingresso u (t) a destra. Non sono presenti derivati ​​sul lato destro. L'equazione di uscita ha l'uscita sulla sinistra e il vettore di stato, q (t), e l'ingresso u (t) a destra. Non sono presenti derivati ​​sul lato destro. Per i sistemi con un solo ingresso e una uscita (cioè la maggior parte dei sistemi che considereremo) Queste variabili diventano (con r 1 e m 1): I vantaggi di questa rappresentazione sono: La notazione è molto compatto. Anche grandi sistemi possono essere rappresentati da due semplici equazioni. Poiché tutti i sistemi sono rappresentati dalla stessa notazione, è molto facile sviluppare tecniche generali per risolvere questi sistemi. I computer facilmente simulare prime equazioni ordine. Un semplice esempio Si consideri un sistema di ordine 4 ° rappresentata da un singolo 4 ° equazione differenziale fine con l'ingresso e l'uscita x y. Possiamo definire 4 nuove variabili, Q1 attraverso Q4. Ora possiamo riscrivere l'equazione differenziale di ordine 4 ° e 4 equazioni del primo ordine Questo è compatto scritto in formato spazio degli stati Per quanto riguarda questo problema uno spazio di stato era facile da trovare. In molti casi (ad esempio, se vi sono derivati ​​sul lato destro dell'equazione differenziale) questo problema può essere molto più difficile. Tali casi sono spiegati nella discussione delle trasformazioni tra rappresentazioni di sistema. Lo spazio di stato non è caso unico 1: Alternate Stato Spazio Rappresentazione Un altro punto importante è che lo spazio di stato non è unica. Come semplice esempio potremmo semplicemente riordinare le variabili dall'esempio precedente (le nuove variabili di stato vengono etichettati q nuovo). Questo si traduce in un nuovo stato rappresentazione dello spazio Caso 2: alternative Stato Spazio Rappresentazioni Nel precedente caso attento esame del sistema spaziale stato originale e modificato rivela che essi rappresentano lo stesso sistema. Tuttavia possiamo fare tutto nuove variabili di stato formando combinazione lineare delle variabili di stato iniziale in cui questa parità non è evidente. Prendere in considerazione lo stato q nuova variabile definita come segue: In questo caso le nuove variabili spaziali stato sono date da (i dettagli di come queste matrici sono determinati non sono importanti per questa discussione sono qui riportati, se siete interessati.): Questo nuovo stato spazio sistema è molto diverso da quello originale, e non è affatto ovvio che rappresentano lo stesso sistema. (Si può dimostrare che i sistemi sono identici trasformando lo spazio di stato di una funzione di trasferimento Tecniche per farlo sono discussi altrove..) Concetto chiave: Definire uno Stato Spazio Rappresentazione A n ° ordine sistema fisico lineari possono essere rappresentati utilizzando una stato approccio spazio destinato ad una equazione differenziale prima matrice ordine: la prima equazione è chiamato l'equazione di stato e ha una derivata prima della variabile di stato (s) a sinistra, e la variabile di stato (s) e l'ingresso (s) , moltiplicato per matrici, sulla destra. La seconda equazione è chiamata equazione uscita e ha Teh uscita sulla sinistra e la variabile di stato (s) e l'ingresso (s), moltiplicata per matrici, sulla destra. Nessun altro termine sono ammessi nell'equazione. In queste equazioni: Per un singolo ingresso, uscita singolo sistema (il caso che ci interessa di più): Lo spazio di stato non riservate molti (in realtà un numero infinito) di sistemi spaziali di stato può essere usato per rappresentare qualsiasi sistema fisico lineare. Lo sviluppo di un modello di spazio di stato da un diagramma di sistema (Translating meccanico) Un altro, potente, modo per sviluppare un modello di spazio di stato è direttamente dalle diagramma di corpo libero. Se si sceglie come variabili di stato i quantitativi che determinano l'energia nel sistema, un sistema di spazio di stato è spesso facile da ricavare. Ad esempio, in un sistema meccanico si potrebbe scegliere estensione delle molle (energia potenziale, frac12kxsup2) e la velocità delle masse (energia cinetica, frac12mvsup2) per impianti elettrici scegliere tensione ai capi dei condensatori, frac12Cesup2 (evoltage)) e la corrente attraverso gli induttori (frac12Lisup2) . Questo è meglio illustrato da numerosi esempi, due rotanti e uno elettrico. Esempio: diretta derivazione di Stato spazio modello (Translating meccanica) derivare un modello di spazio di stato per il sistema illustrato. L'ingresso è f a e l'uscita è y. Possiamo scrivere le equazioni a corpo libero per il sistema in x e y a. Ci sono tre elementi di accumulo di energia, quindi ci aspettiamo tre equazioni di stato. L'energia viene immagazzinata come energia potenziale in primavera (frac12K R 952 1 sup2) e l'energia cinetica nelle due volani (frac12J 1 945 1 sup2, frac12J 2 945 2 sup2). Le nostre equazioni variabile di stato diventano: Ora vogliamo equazioni per i loro derivati. Le equazioni del moto dei diagramma di corpo libero resa con l'ingresso u 964 a. e il y952 uscita 1. Lo sviluppo di spazio modello di Stato dal diagramma di sistema (elettrico) per sviluppare un sistema spazio degli stati di un sistema elettrico, che scegliendo la tensione ai capi dei condensatori e induttori corrente attraverso la variabili di stato. Ricordiamo che quindi se possiamo scrivere le equazioni per la tensione attraverso un induttore, diventa una equazione di stato quando dividiamo per l'induttanza (vale a dire se abbiamo un'equazione per l'e induttore e dividere per L, diventa un'equazione per di induttore dt che è uno dei nostri variabile di stato). Analogamente, se si può scrivere una equazione per la corrente attraverso il condensatore e dividere per la capacità diventa una equazione di stato per l'e condensatore. Questo è meglio illustrato da un esempio. Esempio: diretta derivazione di Stato spazio modello (elettrico) derivare un modello di spazio di stato per il sistema illustrato. L'ingresso è I A e l'uscita è e 2. Ci sono tre elementi di accumulo di energia, quindi ci aspettiamo tre equazioni di stato. Prova a scegliere i 1. i 2 e e 1 come variabili di stato. Ora vogliamo equazioni per i loro derivati. La tensione ai capi dell'induttore L 2 è e 1 (che è una delle nostre variabili di stato) quindi la nostra prima equazione variabile di stato è Se sommiamo le correnti nel nodo etichettato n1 otteniamo Questa equazione ha il nostro ingresso (IA) e due variabile di stato ( IL2 e IL1) e la corrente attraverso il condensatore. Quindi da questo possiamo ottenere la nostra seconda equazione di stato Il nostro terzo, e ultimo, l'equazione di stato si ottiene scrivendo un'equazione per la tensione ai capi L 1 (che è e 2), in termini di nostre altre variabili di stato abbiamo anche bisogno di un'equazione di uscita: Così il nostro spazio di stato diventa Questa tecnica non sempre facilmente produrre un insieme di equazioni di stato. In alcuni casi è più facile sviluppare un modello funzione di trasferimento e convertire ad un modello di spazio di stato. Le funzioni di trasferimento sono discussi altrove. Problemi durante lo sviluppo di un modello di spazio di stato da un diagramma di sistema Ci sono diversi casi in cui non è così semplice per sviluppare un modello spazio di stato da un diagramma di sistema. Alcuni di questi sono discussi qui. Soluzione di problemi di spazio di stato Lo spazio di stato di un sistema è un metodo comune ed estremamente potente di rappresentare un sistema matematico. Questa pagina descrive solo come sviluppare lo spazio di stato, la soluzione di problemi di spazio di stato sono discussi altrove. Trasformazioni ad altre forme Poiché lo spazio di Stato equivale alle altre rappresentazioni, ci deve essere un modo per trasformarsi da una rappresentazione all'altra. Questi metodi sono discussi qui. copia copyright 2005-2015 Erik Cheever Questa pagina può essere usata liberamente per scopi didattici.